Hasta ahora hemos asumido que la variable que indica el quiebre es una función del tiempo. Sin embargo, podemos pensar en variables que dependen de otros factores, e.g. el ciclo económico, expectativas.
Ahora, miremos como modelar este tipo de fenómenos económicos.
Los modelos de transición son en general aplicaciones de los llamados arboles de clasificación y regresión, propuestos por Breiman et al (1984), que en los últimos años han crecido en popularidad como método de data mining.
Los arboles de clasificación se usan cuando la variable de interĆ©s es categórica y el Ć”rbol de decisión se usa para escoger en cual categorĆa se encuentra el valor de la variable.
Los arboles de regresión se usan cuando la variable es continua y se quiere predecir el valor de esta. Este es el caso en las series de tiempo que nosotros venimos trabajando.
El procedimiento en general para este mƩtodo es:
Definimos el modelo de transición, threshold model, como: \[\begin{equation} x_t = \left\{ \begin{matrix} Z_t\beta_1 + \varepsilon_t & q_t < h \\ Z_t\beta_2 + \varepsilon_t & q_t \geq h \end{matrix} \right. \end{equation}\] donde \(Z_t\beta_i\) representa el modelo a seguir, y puede incluir efectos ARMA y variables exógenas, \(q_t\) es la variable umbral o variable de transición, y h es un valor umbral desconocido.
\(Z_t\) puede contener rezagos, por lo cual debemos asegurarnos que los modelos sean estacionarios en ambos regĆmenes, \(q_t\) sera en general un indicador del ciclo económico.
Un ejemplo de este tipo de modelos esta dado por la relación entre ciclo económico e inflación. Por lo general la inflación es mÔs alta cuando estamos en expansión y mÔs baja cuando estamos en recesión.
La pregunta obvia que surge en este caso es, Āæcomo estimamos el valor de \(h\)?.
Para este propósito seguimos el siguiente procedimiento:Hasta ahora hemos asumido que el proceso se encuentra en un estado o el otro, sin importar que tan intenso es el proceso. Por ejemplo, en una recesión muy fuerte la inflación se podrĆa convertir en deflación.
Si queremos modelar este tipo de comportamiento podemos usar modelos de transición suavizada.
La idea de este tipo de modelos es modelar el proceso usando la probabilidad de estar en un estado o el otro, asà obtenemos: \[\begin{equation} x_t = Z_t\beta_1 G(q_t,h,c) + Z_t\beta_2 [1-G(q_t,h,c)] +\varepsilon_t \end{equation}\] donde \(G(q_t,h,c)\) es una función que toma valores entre 0 y 1. \(h\) es el parÔmetro suavizador y \(c\) es el valor umbral.
La función suavizadora mĆ”s comĆŗn es la función logĆstica, \[\begin{equation} G(q_t,h,c) = \frac{\exp(h(q_t-c))}{1+\exp(h(q_t-c))} \end{equation}\]
Usualmente \(q_t-c\) es dividido por su desviación estĆ”ndar para normalizar esta expresión. Este modelo es llamado el modelo AR de suavización logĆstica, o LSTAR por sus siglas en ingles.
Para estimar este modelo, noten que es simplemente un modelo no lineal. Bajo el supuesto de exogeneidad de las variables podemos estimarlo usando MĆnimos Cuadrados no lineales.
Para estimar el modelo usamos una grilla de \(h\) y \(c\) y escogemos la combinación que minimiza la SSR.